標題:
關於有理數和整數的問題
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最佳解答:
√(4x2 + 3x + 1)是有理數, 存在有理數 y 使 4x2 + 3x + 1 = y2, 4x2 + 3x + 1 - y2 = 0 x 為有理數, 則 △ = 9 - 16(1 - y2) = 16y2 - 7 必為有理數之平方, 存在有理數 m 使 16y2 - 7 = m2 ? (4y - m) (4y + m) = 7 , 因 7 有無限個方式表為二個有理數之積, 故方程有無限個有理解, 例如令 4y - m = 2 及 4y + m = 7/2 得 y = 11/16 , m = 3/4 有理解 x = ( - 3 ± 3/4 ) / 8 = - 9/32 或 - 15/32 。 2x2 - 7xy + 6y2 + 4x + 5y - 11 = 0 2x2 + (4 - 7y)x + 6y2 + 5y - 11 = 0 x = [ (7y - 4) ± √( (4 - 7y)2 - 8(6y2 + 5y - 11) ) ] / 4 x = ( 7y - 4 ± √( y2 - 96y + 104) ) / 4 若 x 為整數, 存在正整數 m 使 y2 - 96y + 104 = m2 , (y - 48)2 - 2200 = m2 (y - 48 - m) (y - 48 + m) = 2200 = 23 × 52 × 11 注意 y - 48 - m < y - 48 + m 且必同為偶數 , 得 (y - 48 - m) (y - 48 + m) 各組合及對應整數點之x , y值如下 : (2) (22 × 52 × 11) ? y = 599 , x = 910 (2 × 5) (22 × 5 × 11) ? y = 163 , x = 258 (2 × 11) (22 × 52) ? y = 109 , x = 180 (22) (2 × 52 × 11) ? y = 325 , x = 636 (22 × 5) (2 × 5 × 11) ? y = 113 , x = 208 (22 × 11) (2 × 52) ? y = 95 , x = 166 (- 22 × 52 × 11) (- 2) ? y = - 503 , x = - 744 (- 22 × 5 × 11) (- 2 × 5) ? y = - 67 , x = - 92 (- 22 × 52) (- 2 × 11) ? y = - 13 , x = - 14 (- 2 × 52 × 11) (- 22) ? y = - 229 , x = - 470 (- 2 × 5 × 11) (- 22 × 5) ? y = - 17 , x = - 42 (- 2 × 52) (- 22 × 11) ? y = 1 , x = 0 若 x 為有理數, 存在正有理數 m 使 y2 - 96y + 104 = m2 , (y - 48 - m) (y - 48 + m) = 2200 因 2200 有無限個方式表為二個有理數之積, 故方程有無限個有理解, 例如令 (y - 48 - m) = - 2200 及 (y - 48 + m) = - 1 , 得 y = -1052.5 , x = - 1568 或 x = - 2117.75 即 (- 1568 , - 1052.5) 及 (- 2117.75 , - 1052.5) 為曲線上之兩個有理點。
其他解答:
(1) 有理通解為 x=7/(16r) - r/16 - 3/8;√(4x^2+3x+1)=1/8 |r+7/r| 其中r∈Q-{0,1,-7} (2) 有理通解(x,y)=(2r + 825/r + 83,r + 550/r + 48) 其中r∈Q-{0} 2014-08-02 12:15:13 補充： (1) 有理通解為 x=7/(16r) - r/16 - 3/8;√(4x^2+3x+1)=1/8 (r + 7/r) 其中r ∈ Q^+ - {1}|||||╭∧---∧╮ │ .??? │ ╰/) ? (\╯A215E4A2B88AAE64
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求非零有理數x，使得√(4x2 + 3x + 1)也是有理數。 (若有無限個，也請說明如何求其中一些解) 求曲線 2x2 – 7xy + 6y2 + 4x + 5y – 11 = 0 上所有整數點，以及說明求其上有理點的方法。最佳解答:
√(4x2 + 3x + 1)是有理數, 存在有理數 y 使 4x2 + 3x + 1 = y2, 4x2 + 3x + 1 - y2 = 0 x 為有理數, 則 △ = 9 - 16(1 - y2) = 16y2 - 7 必為有理數之平方, 存在有理數 m 使 16y2 - 7 = m2 ? (4y - m) (4y + m) = 7 , 因 7 有無限個方式表為二個有理數之積, 故方程有無限個有理解, 例如令 4y - m = 2 及 4y + m = 7/2 得 y = 11/16 , m = 3/4 有理解 x = ( - 3 ± 3/4 ) / 8 = - 9/32 或 - 15/32 。 2x2 - 7xy + 6y2 + 4x + 5y - 11 = 0 2x2 + (4 - 7y)x + 6y2 + 5y - 11 = 0 x = [ (7y - 4) ± √( (4 - 7y)2 - 8(6y2 + 5y - 11) ) ] / 4 x = ( 7y - 4 ± √( y2 - 96y + 104) ) / 4 若 x 為整數, 存在正整數 m 使 y2 - 96y + 104 = m2 , (y - 48)2 - 2200 = m2 (y - 48 - m) (y - 48 + m) = 2200 = 23 × 52 × 11 注意 y - 48 - m < y - 48 + m 且必同為偶數 , 得 (y - 48 - m) (y - 48 + m) 各組合及對應整數點之x , y值如下 : (2) (22 × 52 × 11) ? y = 599 , x = 910 (2 × 5) (22 × 5 × 11) ? y = 163 , x = 258 (2 × 11) (22 × 52) ? y = 109 , x = 180 (22) (2 × 52 × 11) ? y = 325 , x = 636 (22 × 5) (2 × 5 × 11) ? y = 113 , x = 208 (22 × 11) (2 × 52) ? y = 95 , x = 166 (- 22 × 52 × 11) (- 2) ? y = - 503 , x = - 744 (- 22 × 5 × 11) (- 2 × 5) ? y = - 67 , x = - 92 (- 22 × 52) (- 2 × 11) ? y = - 13 , x = - 14 (- 2 × 52 × 11) (- 22) ? y = - 229 , x = - 470 (- 2 × 5 × 11) (- 22 × 5) ? y = - 17 , x = - 42 (- 2 × 52) (- 22 × 11) ? y = 1 , x = 0 若 x 為有理數, 存在正有理數 m 使 y2 - 96y + 104 = m2 , (y - 48 - m) (y - 48 + m) = 2200 因 2200 有無限個方式表為二個有理數之積, 故方程有無限個有理解, 例如令 (y - 48 - m) = - 2200 及 (y - 48 + m) = - 1 , 得 y = -1052.5 , x = - 1568 或 x = - 2117.75 即 (- 1568 , - 1052.5) 及 (- 2117.75 , - 1052.5) 為曲線上之兩個有理點。
其他解答:
(1) 有理通解為 x=7/(16r) - r/16 - 3/8;√(4x^2+3x+1)=1/8 |r+7/r| 其中r∈Q-{0,1,-7} (2) 有理通解(x,y)=(2r + 825/r + 83,r + 550/r + 48) 其中r∈Q-{0} 2014-08-02 12:15:13 補充： (1) 有理通解為 x=7/(16r) - r/16 - 3/8;√(4x^2+3x+1)=1/8 (r + 7/r) 其中r ∈ Q^+ - {1}|||||╭∧---∧╮ │ .??? │ ╰/) ? (\╯A215E4A2B88AAE64
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